Vendredis 13

Je remets ici une énigme passée semble-t-il inaperçue dans la rubrique "Films" :
Combien de vendredi 13 peut-il y avoir au maximum dans une année ?... Et peut-il y avoir des années sans aucun vendredi 13 ?
A vos neurones !
Autre question : quelqu'un sait-il pourquoi ce nombre plutôt qu'un autre porterait malheur ? est-ce seulement pour l'histoire des apôtres (Judas était paraît-il le 13e) ou y a-t-il d'autres raisons plus sérieuses ?
Au fait : je ne suis pas superstitieux, ça me porterait malheur !

Je fixe une premier majorant : 52 ... j'ai bon ?

je m'occupe du minorant : 0 J'ai bon aussi ?

Voilà un vrai travail d'équipe ...

Je pense que pour résoudre un tel problème, il ne faut être ni fermé, ni borné. Gardons l'esprit ouvert.

Mouais, pas bien sérieux tout ça ! Maths ludiques OK, n'importe quoi non ! Elle est où la jolie démonstration avec des modulo, des congruences ?
Déjà un meilleur majorant est 12, 'spèce de banane ! Comme s'il y avait des vendredis 13 toutes les semaines !!! C'est pas parce que t'as la scoumoune qu'il faut raconter des bêtises... Allez on se ressaisit !

Bon, j'ai pitié de Domi (au bord de la crise nerveuse devant notre manque de sérieux), et j'ai donc travaillé au saut du lit. Je propose donc une solution :

Le maximum de vendredis 13 pour une année non bissextile est 3, obtenu à la condition que le premier vendredi de l'année tombe le 2 janvier : il s'agit alors des 6ieme, 10 ieme et 45iemes vendredis de l'année, aux mois de février, mars et novembre.

Dans le cas d'une année bissextile, on obtient là encore un maximum de 3 vendredis 13, à la condition que le premier vendredi de l'année soit le 6 janvier. Les vendredis 13 sont alors ceux des mois de janvier, avril et juillet.

Je n'ai pas franchement fait dans le subtil pour la méthode de résolution : voir le doc Word sur http://leducq.rimbaud.free.fr/vendredis.doc.

Ouais ... 1 jour de présence et y s'la pète déjà : site internet, usage d'Excel pour la résolution, solution proposée en quelques heures ...
Que fait l'équipe de modérateurs Pas de doute, c'est un joueur
Bon, on applaudit quand même

Bon, là, je m'incline respectueusement ! Si tôt le matin , si efficace ! Je comprends que notre mathou soit jaloux...
Maintenant la question est : cela peut-il faire un exercice en classe ou à la maison, par exemple avec des 3e ?

Si ma réponse est juste, elle amène un autre problème : de telles configurations sont-elles possibles ? et si oui, à quand la prochaine ?

Pour répondre à ta dernière question, Domi, il faut d'abord voir si mes réponses sont correctes et s'il n'y a pas une méthode moins "bourrin". Si tel n'est pas le cas, je pense qu'il faudrait débuter en précisant quel est le premier jour de l'année...étudier au moins un cas avant de poser le problème de façon plus ouverte. Quant à cette seconde étape, un travail par groupes me semblerait plutôt indiqué.

Une autre résolution du problème m'a été suggérée par Jean-Max Soufflet, collègue à Rimbaud (au collège, pas au poète...).

Elle est plus habile que celle déjà présentée.

Partons du principe que l'année est bissextile : pour un jour quelconque de l'année, appelons x son numéro dans le mois et N le nombre de jours du mois courant. Dans l'hypothèse où x>3, si l'on "saute" 4 semaines, le numéro du jour dans le mois suivant est alors x+28-N.

(Exemple : prenons le mardi 18 avril de cette année 2006. Alors N=30 jours. Or 18+28-30=16. Il y a bien, 4 semaines plus tard, un mardi 16 mai.)

On remarque que le numéro ainsi obtenu (par un "bond" de 4 semaines) dans le mois suivant est systématiquement inférieur au numéro dans le mois courant.

Soit le vendredi "x" janvier suivant directement la date du 13 janvier. Déterminons les numéros dans chaque mois des vendredis les plus proches du numéro 13.

Janvier : x.
Février : x+28-31 = x-3
Mars : (x-3)+28-28 = x-3
Avril : (x-3) + 28-31 = x-6
Mai : (x-6) +28-30 = x-8, congru (modulo 7) à x-1
Juin : (x-1) + 28-31 = x-4
Juillet : (x-4) + 28-30 = x-6
Août : (x-6) + 28-31 = x-9, congru à x-2
Septembre : (x-2) + 28-31= x-5
Octobre : (x-5) + 28-30 = x-7, congru à x
Novembre : x+28-31= x-3
Décembre : x + 28-30 = x-5

Le numéro x-3 est obtenu 3 fois, c'est le maximum. Pour qu'il s'agisse de 3 vendredis 13, il faut prendre x=16. Cela corrobore le résultat que j'avais déjà obtenu, puisque le premier vendredi de janvier serait alors bien le 2.